基础知识
\( x - y \) 坐标系(直角坐标系，笛卡尔坐标系)
一条水平数轴与一条垂直数轴在原点处垂直相交。
坐标:
有序数对中的两个数称为对应点的坐标。
注意， \( x \) 坐标也称为“横坐标(abscissa)”， \( y \) 坐标也称为“纵坐标(ordinate)”。
1. 直线与圆的方程
1.1. 直线方程的不同形式
标准式:
\[ {Ax} + {By} + C = 0\;\left( {{A}^{2} + {B}^{2} \neq 0}\right) \tag{17.1} \]
点斜式
\[ y - {y}_{1} = m\left( {x - {x}_{1}}\right) \tag{17.2} \]
\( m \) 为直线的斜率，点 \( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 位于该直线上。
斜截式
\[ y = {mx} + b \tag{17.3} \]
其中 \( m \) 为斜率， \( b \) 为 \( y \) 截距。
截距式:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \tag{17.4} \]
\( a \) 为 \( x \) 截距， \( b \) 为 \( y \) 截距。
两点式:
若已知两点 \( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) ，则可写出该直线的方程
\[ \text{as:}\frac{y - {y}_{1}}{x - {x}_{1}} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}} \tag{17.5} \]
(2). 平行线与垂直线的斜率
若直线 \( {y}_{1} = {m}_{1}{x}_{1} + {b}_{1} \) 与直线 \( {y}_{2} = {m}_{2}{x}_{2} + {b}_{2} \) 平行，则 \( {m}_{1} = {m}_{2} \) 。
若 \( {m}_{1} = {m}_{2} \) ，则直线 \( {y}_{1} = {m}_{1}{x}_{1} + {b}_{1} \) 与直线 \( {y}_{2} = {m}_{2}{x}_{2} + {b}_{2} \) 平行。
若直线 \( {y}_{1} = {m}_{1}{x}_{1} + {b}_{1} \) 与直线 \( {y}_{2} = {m}_{2}{x}_{2} + {b}_{2} \) 垂直，则 \( {m}_{1} \times {m}_{2} = - 1 \) 。
若 \( {m}_{1} \times {m}_{2} = - 1 \) ，则直线 \( {y}_{1} = {m}_{1}{x}_{1} + {b}_{1} \) 与直线 \( {y}_{2} = {m}_{2}{x}_{2} + {b}_{2} \) 垂直。
1.2. 圆的方程
标准形式 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} \) (17.6)
圆心:(0,0)，半径 \( r\left( {r > 0}\right) \) 。
标准形式 \( {\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2} = {r}^{2} \) (17.7)
(17.8)
圆心:(a, b)，半径 \( r\left( {r > 0}\right) \) 。
一般形式: \( {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0 \)
配方法: \( {\left( x + \frac{D}{2}\right) }^{2} + {\left( y + \frac{E}{2}\right) }^{2} = \frac{{D}^{2} + {E}^{2} - {4F}}{4} \) (17.9)
2. 距离公式
(1) 计算两点间距离的公式
给定直角三角形 \( {ABC} \) ，由勾股定理可得
\[ d = \sqrt{{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{2} + {\left( {y}_{2} - {y}_{1}\right) }^{2}} \tag{17.10} \]
(1.1) 称为距离公式(distance formula)，用于计算两点 \( {P}_{1}\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 与 \( {P}_{2}\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) 之间的距离。
(2) 点到直线的距离公式
求解“求点 \( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 到直线 \( {ax} \) \( + {by} + c = 0 \) 的距离”这类问题，乍看简单，实则非常耗时，除非你掌握以下公式: \( d = \left| \frac{a{x}_{1} + b{y}_{1} + c}{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}\right| \) (17.11)
3. 中点公式
(1) 中点公式
线段两端点为 \( \left( {{x}_{m},{y}_{m}}\right) \) 时，其中点坐标为
\[ \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{and}\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \text{are}{x}_{m} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2}\text{, and}\;{y}_{m} = \frac{{y}_{1} + {y}_{2}}{2} \tag{17.12} \]
(2) 平行四边形的顶点公式:
\( {ABCD} \) 为平行四边形。已知三个顶点 \( A\left( {{x}_{A},{y}_{A}}\right) , B\left( {{x}_{B},{y}_{B}}\right) \) 、 \( C\left( {x}_{C}\right. \) 和 \( {y}_{C} \) ，求 \( D \) 的坐标。
\[ {x}_{D} = {x}_{A} + {x}_{C} - {x}_{B} \]
\[ {y}_{D} = {y}_{A} + {y}_{C} - {y}_{B} \tag{17.13} \]
证明:
作两条对角线交于 \( E \) 。
\( E \) 是 \( {AC} \) 的中点，因此有:
\[ {x}_{E} = \frac{{x}_{A} + {x}_{C}}{2} \tag{1} \]
\( E \) 也是 \( {BD} \) 的中点，因此有:
\[ {x}_{E} = \frac{{x}_{B} + {x}_{D}}{2} \tag{2} \]
于是得到 \( \frac{{x}_{A} + {x}_{C}}{2} = {x}_{E} = \frac{{x}_{B} + {x}_{D}}{2} \)
\[ \Rightarrow \;{x}_{A} + {x}_{C} = {x}_{B} + {x}_{D} \]
\( {x}_{D} = {x}_{A} + {x}_{C} - {x}_{B}. \)
同理可证 \( {y}_{D} = {y}_{A} + {y}_{C} - {y}_{B} \) 。
(3) 广义点公式
\( P \) 是位于点 \( A \) 与 \( B \) 之间、且在 \( {AB} \) 上的一点。
若 \( \lambda = \frac{AP}{PB} \) ，则:
\[ x = \frac{{x}_{1} + \lambda {x}_{2}}{1 + \lambda }\text{, and }y = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } \tag{17.14} \]
证明:
作 \( {DP}//{BC},{PE}//{AC} \) ，得到两个相似三角形: \( \bigtriangleup {ADP} \) 与 \( \bigtriangleup {PEB} \) 。
于是有 \( \frac{DP}{CB} = \frac{AP}{PB} \Rightarrow \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{2} - x} = \lambda \)
\( \Rightarrow x - {x}_{1} = \lambda \left( {{x}_{2} - x}\right) \Rightarrow x - {x}_{1} = \lambda {x}_{2} - {\lambda x} \)
\( \Rightarrow x\left( {1 - \lambda }\right) = {x}_{1} + \lambda {x}_{2} \Rightarrow x = \frac{{x}_{1} + \lambda {x}_{2}}{1 - \lambda } \) .
同理可证 \( y = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } \) 。
例题
(1). 直线与斜率
例1. 从顶点为 \( \left( {0,0}\right) ,\left( {8,0}\right) ,\left( {8,2}\right) \) 与(0,2)的矩形内部随机取一点(x, y)，求 \( x > y \) 的概率。
(A) 7/8 (B) \( 1/4 \) (C) \( 3/8 \) (D) \( 1/2 \) (E) \( 5/8 \)
解:(A)。
点(x, y)满足 \( x > y \) 当且仅当它位于由直线 \( x = y, y = 2 \) 与 \( x = 8 \) 围成的阴影梯形内，该梯形面积为 \( \frac{\left( {6 + 8}\right) \cdot 2}{2} = {14} \) 。梯形面积与矩形面积之比为 \( x > y \) 。
矩形面积之比为 \( \frac{14}{2 \times 8} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \) 。
例2. (2003 AMC 10 B) 一条斜率为3的直线与一条斜率为5的直线在点(10,15)相交，求这两条直线 \( x \) -截距之间的距离。
(A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 12 (E) 20
解:(A)。
方法一(官方解法):
这两条直线的方程分别为 \( y - {15} = 3\left( {x - {10}}\right) \) 和 \( y - {15} = 5\left( {x - {10}}\right) \) :
通过在各方程中令 \( y = 0 \) 求得的 \( x \) 截距分别为5和7。点(5,0)与(7,0)之间的距离为2。
方法二(我们的解法):
这两条直线的方程可写为
\( {y}_{1} = 3{x}_{1} + {b}_{1}\; \Rightarrow \;5{y}_{1} = {15}{x}_{1} + 5{b}_{1} \) (1)
以及 \( {y}_{2} = 5{x}_{2} + {b}_{2}\; \Rightarrow \;3{y}_{2} = {15}{x}_{2} + 3{b}_{2} \) (2)
由于两条直线都经过点(10,15)，我们有
\( {15} = 3 \times {10} + {b}_{1}\; \Rightarrow \;{b}_{1} = - {15} \)
以及 \( {15} = 5 \times {10} + {b}_{2}\; \Rightarrow \;{b}_{2} = - {35} \)
(1) \( - \left( 2\right) : 5{y}_{1} - 3{y}_{2} = {15}\left( {{x}_{1} - {x}_{2}}\right) + 5{b}_{1} - 3{b}_{2} \) (3)
通过在(3)中令 \( y = 0 \) 求得的 \( x \) 截距:
\( 0 \times 0 - 0 = {15}\left( {{x}_{1} - {x}_{2}}\right) + 5 \times \left( {-{15}}\right) - 3\left( {-{35}}\right) \Rightarrow {15}\left( {{x}_{1} - {x}_{2}}\right) = {30} \Rightarrow {x}_{1} - {x}_{2} = 2 \) .
这两条直线的 \( x \) 截距之间的距离为2。
例3.(2006 AMC 10 B)直线 \( x = \left( {1/4}\right) y + a \) 和 \( y = \left( {1/4}\right) x + b \)
相交于点(1,2)。求 \( a + b \) ？
(A) 0 (B) \( 3/4 \) (C) 1 (D) 2 (E) \( 9/4 \)
解答:(E)。
方法一(官方解答):
将 \( x = 1 \) 和 \( y = 2 \) 代入方程得
\( 1 = 2/4 + a \) 和 \( 2 = 1/4 + b. \)
由此可得 \( a + b = \left( {1 - \frac{2}{4}}\right) + \left( {2 - \frac{1}{4}}\right) = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \) 。
方法二(官方解法):
因为 \( a = x - \frac{y}{4} \) 且 \( b = y - \frac{x}{4} \) ，所以 \( a + b = \frac{3}{4}\left( {x + y}\right) \) 。
由于当 \( y = 2 \) 时 \( x = 1 \) ，这意味着 \( a + b = \frac{3}{4}\left( {1 + 2}\right) = \frac{9}{4} \) 。
方法三(我们的解法):
已知
\( x = \frac{1}{4}y + a \) (1)
\( y = \frac{1}{4}x + b \) (2)
(1)+(2): \( x + y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y + a + b\; \Rightarrow \;\left( {x + y}\right) - \frac{1}{4}\left( {x + y}\right) = a + b \)
\( \Rightarrow a + b = \frac{3}{4}\left( {x + y}\right) \)
由于当 \( y = 2 \) 时 \( x = 1 \) ，这意味着 \( a + b = \frac{3}{4}\left( {1 + 2}\right) = \frac{9}{4} \) 。
例4.(2003 AMC 10 A 第22题)在矩形 \( {ABCD} \) 中，我们有 \( {AB} = 8 \) ， \( {BC} = 9, H \) 在 \( {BC} \) 上且 \( {BH} = 6, E \) 在 \( {AD} \) 上且 \( {DE} = \) 4，直线 \( {EC} \) 与直线 \( {AH} \) 交于 \( G \) ，且 \( F \) 在直线 \( {AD} \) 上且 \( {GF}?{AF} \) 。 \( {GF} \) 的长度是多少？
(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28 (E) 30
解答:(B)。
方法一(官方解法):
将图形置于坐标平面，原点位于 \( D,{DA} \) ，正 \( x \) -轴上， \( {DC} \) 在正 \( y \) -轴上。则 \( H = \left( {3,8}\right) \) 且 \( A = \left( {9,0}\right) \) ，因此直线 \( {AG} \) 的方程为 \( y = - \frac{4}{3}x + {12} \) 。
又 \( C = \left( {0,8}\right) \) 且 \( E = \left( {4,0}\right) \) ，因此直线 \( {EG} \) 的方程为 \( y = - {2x} + 8 \) 。
两直线交于(-6,20)，故 \( {FG} = {20} \) 。
方法二(我们的解法):
将图形置于坐标平面，原点位于 \( A \) 。
于是 \( E = \left( {-5,0}\right) \) 且 \( C = \left( {-9,8}\right) \) ，因此直线 \( {CE} \) (或 \( {EG} \) )的方程为
\( \frac{y - {y}_{1}}{x - {x}_{1}} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}\; \Rightarrow \;\frac{y - 0}{x - \left( {-5}\right) } = \frac{8 - 0}{-9 - \left( {-5}\right) } \Rightarrow y = - {2x} - {10} \) (1)
我们还有 \( A = \left( {0,0}\right) \) 且 \( H = \left( {-6,8}\right) \) ，因此直线 \( {EG} \) 的方程为
\( \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{8 - 0}{-6 - 0}\; \Rightarrow \;x = - \frac{3}{4}y \) (2)
将(2)代入(1): \( y = - 2\left( {-\frac{3}{4}y}\right) - {10} \Rightarrow y = \frac{3}{2}y - {10}\; \Rightarrow \)
\( y - \frac{3}{2}y = - {10} \Rightarrow \frac{-1}{2}y = - {10} \Rightarrow y = {20}. \)
于是 \( {FG} = {20} \) 。
例5. 点 \( P\left( {3,2}\right) \) 位于直线 \( l \) 上，该直线平行于直线 \( x - {3y} = 7 \) 。直线 \( l \) 的方程可写为 \( {ax} + {by} = c \) 。 \( {3a} + b - c \) 是多少？
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 9 (E) 12
解:(A)。
直线 \( x - {3y} = 7 \) 的斜率为 \( \frac{1}{3} \) 。
与直线 \( x - {3y} = 7 \) 平行的直线 \( l \) 的斜率亦为 \( \frac{1}{3} \) 。
其方程(点斜式)为 \( y - {y}_{1} = m\left( {x - {x}_{1}}\right) \Rightarrow \;y - 2 = \frac{1}{3}\left( {x - 3}\right) \)
\[ \Rightarrow \;{3y} - 6 = x - 3 \Rightarrow \;x - {3y} = - 3. \]
于是 \( {3a} + b - c = 3 \times 1 + \left( {-3}\right) - \left( {-3}\right) = 3 \) 。
例6. 写出与圆 \( {x}^{2} + {y}^{2} = \) 25 在点(-3,4)处相切的直线方程。
(A) \( {3x} + {4y} = {25} \) (B) \( {3x} - {4y} = {25} \) (C) \( - {3x} + {4y} = {25} \)
(D) \( - {3x} - {4y} = {25} \) (E) 以上皆非 解:(C)。过圆心与点(-3,4)的直线斜率为 \( k = \frac{4 - 0}{-3 - 0} = - \frac{4}{3}. \) ，切线斜率为 \( - \frac{1}{k} = \frac{3}{4} \) 。
切线方程为 \( y - 4 = \frac{3}{4}\left\lbrack {x - \left( {-3}\right) }\right\rbrack \) ，即
\[ y - 4 = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4}\; \Rightarrow \;y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4} \Rightarrow \; - {3x} + {4y} = {25}. \]
例7.(AMC改编)点 \( A = \left( {4,{10}}\right) , B = \left( {2,2}\right) , C = \left( {6,4}\right) \) 与 \( D = \) (a, b)位于第一象限，且为四边形 \( {ABCD} \) 的顶点。连接 \( \overline{AB},\overline{BC},\overline{CD} \) 与 \( \overline{DA} \) 中点所得的四边形是一个
正方形。求点 \( D \) 的坐标之和。
(A) 16 (B) 9 (C) 12 (D) 10 (E) 7
解答:(C)。
设边 \( \overline{AB},\overline{BC},\overline{CD} \) 和 \( \overline{DA} \) 的中点分别为 \( M, N, P \) 和 \( Q \) ，
则 \( M = \left( {3,6}\right) \) 和 \( N = \left( {4,3}\right) \) 。由于 \( \overline{MN} \) 的斜率为-3，
垂直线段 \( \overline{MQ} \) 的斜率必须为 \( \frac{1}{3} \) ，且 \( {MQ} = {MN} = \sqrt{10} \) 。
因此，包含 \( \overline{MQ} \) 的直线方程为 \( y - 6 = \frac{\left( x - 3\right) }{3} \) ，即 \( y = \frac{\left( x + {15}\right) }{3} \) 。
于是 \( Q \) 的坐标形如 \( \left( {a,\frac{\left( a + {15}\right) }{3}}\right) \) 。
由于 \( {MQ} = \sqrt{10} \) ，对线段 \( {MQ} \) 应用距离公式得
\[ {\left( a - 3\right) }^{2} + {\left( \frac{\left( a + {15}\right) }{3} - 6\right) }^{2} = {10} \Rightarrow {\left( a - 3\right) }^{2} + {\left( \frac{a - 3}{3}\right) }^{2} = {10} \Rightarrow \]
\[ \frac{10}{9}{\left( a - 3\right) }^{2} = {10} \Rightarrow {\left( a - 3\right) }^{2} = 9 \Rightarrow \;a - 3 = \pm 3. \]
已知 \( Q \) 在第一象限，故 \( a = 6 \) 且 \( Q = \left( {6,7}\right) \) 。由于 \( Q \) 是 \( \overline{AD} \) 和 \( A = \left( {4,{10}}\right) \) 的中点， \( D \) 的坐标为(8,4)，其坐标之和为12。
(2). 中点公式与推广公式
例8. (2003 AMC 10 A 第22题) 在矩形 \( {ABCD} \) 中，已知 \( {AB} = 8 \) ， \( {BC} = 9, H \) 在 \( {BC} \) 上且 \( {BH} = 6, E \) 在 \( {AD} \) 上且 \( {DE} = 4 \) ，直线 \( {EC} \) 与直线 \( {AH} \) 交于 \( G \) ，且 \( F \) 在直线 \( {AD} \) 上且 \( {GF}?{AF} \) 。求长度 \( {GF} \) ？ (A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28 (E) 30 解答:(B)。方法一(官方解答):将图形置于坐标平面，原点位于 \( D \) ， \( {DA} \) 在正 \( x \) 轴上， \( {DC} \) 在正 \( y \) 轴上。
于是 \( H = \left( {3,8}\right) \) 和 \( A = \left( {9,0}\right) \) ，故直线 \( {AG} \) 的方程为 \( y = - \frac{4}{3}x + {12} \)
又 \( C = \left( {0,8}\right) \) 和 \( E = \left( {4,0}\right) \) ，故直线 \( {EG} \) 的方程为 \( y = - {2x} + 8 \) 。
两直线交于(-6,20)，因此 \( {FG} = {20} \) 。
方法二(我们的解法):
将图形放置在坐标平面中，原点位于 \( A \) 。
于是 \( H = \left( {-6,8}\right) \) 和 \( A = \left( {0,0}\right) \) 。我们知道 \( {\Delta GEA} \) 与 \( {\Delta GCH} \) 相似。
所以我们有 \( \frac{EA}{CH} = \frac{GA}{GH} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{{GH} + {HA}}{GH} = 1 + \frac{HA}{GH}\; \Rightarrow \frac{HA}{GH} = \frac{2}{3} \)
\( \Rightarrow \;\frac{GH}{HA} = \lambda = \frac{3}{2} \) .
然后根据公式 \( y = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } \) ，我们得到 \( {y}_{H} = \frac{{y}_{G} + \lambda {y}_{A}}{1 + \lambda } \Rightarrow \)
\( 8 = \frac{{y}_{G} + \frac{3}{2} \times 0}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{{y}_{G}}{\frac{5}{2}} \Rightarrow \;{y}_{G} = 8 \times \frac{5}{2} = {20}. \)
例9. 点 \( P \) 和 \( R \) 分别位于(1,5)和(5,11)。点 \( M \) 是线段 \( {PR} \) 的中点。线段 \( {PR} \) 关于 \( x \) 轴反射。求点 \( M \) (反射后线段的中点)的像的坐标之和。(A) 5 (B) -5 (C) 3 (D) 8 (E) 11 解答:(B)。
根据中点公式: \( {x}_{M} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \) ，且
\( {y}_{M} = \frac{{y}_{1} + {y}_{2}}{2} = \frac{5 + {11}}{2} = 8. \)
当线段 \( {PR} \) 关于 \( x \) 轴反射时，点 \( M\left( {3,8}\right) \) 变为 \( {M}^{\prime }\left( {3, - 8}\right) \) 。其和为 \( 3 - 8 = - 5 \) 。
例10.(2009年Mathcounts全国赛第23题)三角形 \( {ABC} \) 的顶点位于 \( A\left( {5,8}\right) , B\left( {3, - 2}\right) \) 和 \( C\left( {6,1}\right) \) 。坐标为(m, n)的点 \( D \) 被选在三角形内部，使得三个小三角形 \( {ABD},{ACD} \) 和 \( {BCD} \) 的面积均相等。 \( {10m} + n \) 的值是多少？
(A) 14 (B) 49 (C) \( {140}/3 \) (D) 7 (E) \( 7/3 \)
解答:(B)。
方法一:由于三个小三角形面积相同，点 \( D \) 是重心，即三角形的中心。
重心的性质给出 \( {BE} = {EA} \) 和 \( \frac{DC}{DE} = 2 \) 。
\( E \) 是 \( {AB} \) 的中点，其坐标可
计算为 \( \left( {\frac{5 + 3}{2},\frac{8 - 2}{2}}\right) \) 或(4,3)。
设 \( \lambda = \frac{DC}{DE} = 2 \) ，并将 \( C \) 的坐标记为
\( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) = \left( {6,1}\right) \) ，并将 \( E \) 的坐标记为 \( \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) = \left( {4,3}\right) \) 。
\[ m = \frac{{x}_{1} + \lambda {x}_{2}}{1 + \lambda } = \frac{6 + 2 \times 4}{1 + 2} = \frac{14}{3}\text{ and }n = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } = \frac{1 + 2 \times 3}{1 + 2} = \frac{7}{3} \]
\[ {10m} + n = \frac{140}{3} + \frac{7}{3} = {49} \]
方法二:
若三角形顶点的坐标为 \( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) 和 \( \left( {{x}_{3},{y}_{3}}\right) \) ，则三角形重心坐标为 \( \left( {\frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}}{3},\frac{{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3}}{3}}\right) \) 。顶点为 \( \left( {5,8}\right) ,\left( {6,1}\right) \) 和(3, -2)的三角形的重心为
\[ m = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}}{3} = \frac{14}{3};n = \frac{{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3}}{3} = \frac{7}{3}. \]
\[ {10m} + n = \frac{140}{3} + \frac{7}{3} = {49} \]
例11. 端点为 \( A\left( {-2,3}\right) \) 和 \( B\left( {5,5}\right) \) 的 \( {AB} \) 关于 \( x \) 轴反射，其像再关于 \( y \) 轴反射。最终像的中点坐标的乘积是多少？
(E) 10
解答:(A)。
如下图所示，线段 \( {AB} \) 关于 \( x \) 轴反射后， \( {A}^{\prime } \) 的坐标为(-2, -3)， \( {B}^{\prime } \) 的坐标为(5, -5)。 \( {A}^{\prime }{B}^{\prime } \) 再关于 \( y \) 轴反射后， \( {A}^{\prime \prime } \) 的坐标为(2, -3)， \( {B}^{\prime \prime } \) 的坐标为(-5, -5)。最终像的中点
为 \( x = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2} = \frac{2 - 5}{2} = - \frac{3}{2} \) 和 \( y = \frac{{y}_{1} + {y}_{2}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = - 4 \) 。
乘积为6。
(3) 距离公式
例12. (2004 AMC 10 B 第22题) 边长为5、12、13的三角形既有内切圆又有外接圆。两圆心之间的距离是多少？
(A) \( 3\sqrt{5}/2 \) (B) \( 7/2 \) (C) \( \sqrt{15} \) (D) \( \frac{\sqrt{65}}{2} \) (E) \( 9/2 \)
解答:(D)。
方法一(官方解答):
该三角形为直角三角形，可置于坐标系中，顶点坐标为 \( \left( {0,0}\right) ,\left( {5,0}\right) \) 和(0,12)。外接圆圆心为斜边中点，即 \( \left( {5/2,6}\right) \) 。
为求内切圆半径 \( r \) ，注意到三角形斜边为 \( \left( {{12} - r}\right) + \left( {5 - r}\right) = {13} \) ，因此 \( r = 2 \) 。
故内切圆圆心为(2,2)，两圆心
之间的距离为 \( \sqrt{{\left( \frac{-{25}}{2}\right) }^{2} + {\left( 6 - 2\right) }^{2}} = \frac{\sqrt{65}}{2} \) 。
方法2(我们的解法):
该三角形为直角三角形，可置于坐标系中，顶点位于 \( \left( {0,0}\right) ,\left( {5,0}\right) \) 和(0,12)。外接圆圆心为(5,0)与(0,12)的中点，因此
根据公式， \( {x}_{m} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2} \) 和 \( {y}_{m} = \frac{{y}_{1} + {y}_{2}}{2} \) ，我们有
\( {x}_{m} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2} = \frac{5 + 0}{2} = \frac{5}{2} \) 和 \( {y}_{m} = \frac{{y}_{1} + {y}_{2}}{2} = \frac{0 + {12}}{2} = 6. \)
故圆心为 \( \left( {5/2,6}\right) \) 。
外接圆半径为 \( r = \frac{5 + {12} - {13}}{2} = 2 \) 。
坐标为(2,2)。
由距离公式， \( d = \sqrt{{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{2} + {\left( {y}_{2} - {y}_{1}\right) }^{2}} \) ，答案为
\[ d = \sqrt{{\left( 2 - \frac{5}{2}\right) }^{2} + {\left( 2 - 6\right) }^{2}} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}. \]
例13.(2006 AMC 10 B 第20题)在矩形 \( {ABCD} \) 中，我们有 \( A = (6 \) 、 \( - {22}), B = \left( {{2006},{178}}\right) \) 和 \( D = \left( {8, y}\right) \) ，其中 \( y \) 为某整数。矩形 \( {ABCD} \) 的面积为多少？
(A) 4000 (B) 4040 (C) 4400 (D) 40;000 (E) 40,400
解答:(E)。
方法1(官方解法):
直线 \( {AB} \) 的斜率为 \( \left( {{178} - \left( {-{22}}\right) }\right) /\left( {{2006} - 6}\right) = 1/{10} \) 。由于该直线
\( {AD} \) 与直线 \( {AB} \) 垂直，其斜率为-10。这意味着
\( - {10} = \frac{y - \left( {-{22}}\right) }{8 - 6} \) ，因此 \( y = - {10}\left( 2\right) - {22} = - {42} \) ；且 \( D = \left( {8, - {42}}\right) \) 。
于是， \( {AB} = \sqrt{{2000}^{2} + {200}^{2}} = {200}\sqrt{101} \) 且
\[ {AD} = \sqrt{{2}^{2} + {20}^{2}} = 2\sqrt{101} \]
因此面积 \( \left( {ABCD}\right) = {AB} \times {AD} = {400} \times {101} = {40},{400} \) 。
方法2(我们的解法):
\( {AB} \) 的方程为 \( \frac{y - {y}_{1}}{x - {x}_{1}} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}\; \Rightarrow \;\frac{y - \left( {-{22}}\right) }{x - 6} = \frac{{178} - \left( {-{22}}\right) }{{2006} - 6} \)
\[ \Rightarrow \;\frac{y + {22}}{x - 6} = \frac{200}{2000}\; \Rightarrow \;\frac{y + {22}}{x - 6} = \frac{1}{10} \Rightarrow \]
\[ {10}\left( {y + {22}}\right) = x - 6\; \Rightarrow \;y = \frac{1}{10}x - \frac{113}{5} \tag{1} \]
由于 \( {AB} \bot {AD} \) ， \( {AD} \) 的方程为 \( y = - {10x} + b \) (2)
(6, -22)同时满足(1)和(2)。因此我们有
\( \frac{1}{10} \times 6 - \frac{113}{5} = - {10} \times 6 + b\; \Rightarrow b = {38}. \)
于是(2)变为: \( y = - {10x} + {38} \)
当 \( x = 8, y = - {10} \times 8 + {38} = - {42} \) 。因此 \( D = \left( {8, - {42}}\right) \) 。
根据距离公式， \( {AB} = \sqrt{{2000}^{2} + {200}^{2}} = {200}\sqrt{101} \) 且
\( {AD} = \sqrt{{2}^{2} + {20}^{2}} = 2\sqrt{101}. \)
因此面积 \( \left( {ABCD}\right) = {AB} \times {AD} = {400} \times {101} = {40},{400} \) 。
例14. 对于满足 \( f\left( x\right) = \sqrt{{x}^{2} - {2x} + 2} + \sqrt{{x}^{2} - {4x} + 8} \) 的实数 \( x \) ， \( f\left( x\right) \) 的最小可能值是多少？
(A) \( \sqrt{10} \) (B) \( \sqrt{15} \) (C) \( 2\sqrt{5} \) D. \( 5\sqrt{2} \) (E) \( 4\sqrt{3} \)
解:(A)。
\( f\left( x\right) = \sqrt{{\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( 0 - 1\right) }^{2}} + \sqrt{{\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( 0 + 2\right) }^{2}} \)
\( f\left( x\right) = \sqrt{{x}^{2} - {2x} + 2} + \sqrt{{x}^{2} - {4x} + 8} \) 的最小可能值等价于求点(x,0)到点(1,1)与(2,-2)的距离之和的最小值。为此，我们可计算(1,1)与(2,-2)之间的距离，即 \( \sqrt{10} \) 。
(4) 点到直线距离公式
例15. 求点(2,-3)到直线 \( {3x} - {4y} \) \( - {12} = 0 \) 的距离。
(A) \( 5/2 \) (B) \( 6/5 \) (C) \( 6/7 \) (D) \( 8/5 \) (E) \( 7/5 \)
解答:(B)。
根据点到直线的距离公式，点(2, -3)到直线 \( {3x} - {4y} - {12} = 0 \) 的距离为:
\[ d = \left| \frac{3\left( 2\right) - 4\left( {-3}\right) - {12}}{\sqrt{{3}^{2} + {4}^{2}}}\right| = \frac{\left| 6\right| }{5} = \frac{6}{5}. \]
例16. 直线 \( {4x} + {5y} = {20} \) 离原点最近有多近？
(A) \( \frac{{20}\sqrt{41}}{41} \) (B) \( \frac{{10}\sqrt{41}}{21} \) (C) \( \frac{{10}\sqrt{41}}{41} \) D. \( \frac{{40}\sqrt{41}}{41} \)
解答:(A)。
根据点到直线的距离公式，原点(0,0)到直线 \( {4x} + {5y} - {20} = 0 \) 的距离为
\[ d = \frac{\left| 4\left( 0\right) + 5\left( 0\right) - {20}\right| }{\sqrt{{4}^{2} + {5}^{2}}} = \frac{20}{\sqrt{41}} = \frac{{20}\sqrt{41}}{41}. \]
例17. 求两条平行直线 \( {2x} - {3y} = {12} \) 与 \( {2x} - {3y} \) \( = {25} \) 之间的距离。
(A) \( \frac{\sqrt{13}}{13} \) (B) \( \sqrt{26} \) (C) \( \sqrt{13} \) D. \( 2\sqrt{13} \) (E) \( 2\sqrt{26} \)
解答:(C)。
在一条直线上任取一点，代入点到直线的距离公式。因此，我们从第一条直线 \( {2x} - {3y} = {12} \) 上取点(6,0)。点(6,0)到直线 \( {2x} - {3y} = {25} \) 的距离为 \( d = \frac{\left| 2\left( 6\right) - 3\left( 0\right) - {25}\right| }{\sqrt{{2}^{2} + {3}^{2}}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} \) 。例18. (2003 Duke Math Meet) 直线 \( y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{5} \) 离格点最近有多近？
解答: \( \frac{2\sqrt{65}}{325} \) 。
该直线写成标准形式为 \( {20x} - {35y} + 7 = 0 \) ，因此到任意格点(x, y)的距离为 \( \frac{\left| {20}x - {35}y + 7\right| }{\sqrt{{20}^{2} + {35}^{2}}} \) 。
为了求出直线离格点的最近距离，必须找到直线与格点之间的最短距离。当分子尽可能小时，即可得到最短距离，且距离必须为非负数。 \( {20x} - {35y} \) 总是5的倍数，因此 \( {20x} - {35y} + 7 \) 的最小非负值为2，此时 \( {20x} - {35y} \) 取-5，整个分子为2。这是分子可能的最小值，因此最短距离为
\[ \frac{2}{\sqrt{{20}^{2} + {35}^{2}}} = \frac{2}{5\sqrt{65}} = \frac{2\sqrt{65}}{325}. \]
例19. 直线 \( y = \frac{5}{7}x + \frac{1}{5} \) 离格点最近有多近？
(B) \( \frac{\sqrt{35}}{35} \) 。 (C) \( \frac{\sqrt{74}}{185} \) 。 D. \( \frac{2\sqrt{74}}{185} \) 。 (E) \( \frac{\sqrt{74}}{74} \) 。
解答:(C)。
该直线(line)的标准形式为 \( {25x} - {35y} + 7 = 0 \) ，因此到任意格点(x, y)的距离为 \( \frac{\left| {25}x - {35}y + 7\right| }{\sqrt{{25}^{2} + {35}^{2}}} \) 。
为了求出直线与格点的最近距离，必须找到直线与格点之间的最短距离。当分子尽可能小时，即可得到最短距离。距离必须为非负数。 \( {25x} - {35y} \) 始终是5的倍数，因此最小的
非负值 \( {25x} - {35y} + 7 \) 为2，此时 \( {25x} - {35y} \) 为-5，整个分子为2。这是分子可能的最小值，因此最短距离为
\( \frac{2}{\sqrt{{25}^{2} + {35}^{2}}} = \frac{2}{5\sqrt{74}} = \frac{\sqrt{74}}{185}. \)
例20. 求直线 \( l \) 在点(-2,0)处与圆 \( {x}^{2} + {y}^{2} = 1 \) 相切时的斜率(slope)。
(A) \( \pm 1 \) (B) \( \pm \frac{1}{2} \) (C) \( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \) (D) \( \pm \sqrt{3} \) (E) \( \pm \sqrt{5} \)
解答:(C)。
设斜率为 \( k \) ，则 \( y = k\left( {x + 2}\right) \) 。圆心到直线 \( l \) 的距离为 \( d = \frac{\left| 2k\right| }{\sqrt{1 + {k}^{2}}} = 1.\therefore k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \) 。
例21.(AMC)对于满足 \( {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = 6 \) 的实数对(x, y)，求 \( \frac{y}{x} \) 的最大值。
(A) \( 3 + 2\sqrt{2} \) (B) \( 2 + \sqrt{3} \) (C) \( 3\sqrt{3} \) (D)6(E) \( 6 + 2\sqrt{3} \)
解答:(A)。
前两种解法由AMC提供，第三种解法由我们给出。
方法1(官方解法):
设 \( P = \left( {x, y}\right) , A = \left( {0,0}\right) , C = \left( {3,3}\right) \) ， \( b \) 为正 \( x \) 轴上的任意一点。 \( \mathrm{P} \) 的轨迹是以 \( C \) 为圆心、 \( \sqrt{6} \) 为半径的圆， \( y/x \) 为线段 \( {AP} \) 的斜率。显然，当 \( {AP} \) 在左侧与圆相切时，该斜率最大，如图所示
(注: \( \sqrt{6} < 3 \) )。设 \( \alpha = \angle {CAP} \) 。由于 \( \angle {BAC} = {45}^{ \circ } \) ，答案为 \( \tan \left( {\alpha + {45}^{ \circ }}\right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha }. \)
由于 \( \angle {APC} = {90}^{ \circ } \) ， \( \tan \alpha = {PC}/{PA} \) 。根据勾股定理(Pythagorean Theorem)
\( {PA} = \sqrt{{\left( AC\right) }^{2} - {\left( PC\right) }^{2}} = 2\sqrt{3} \) 。因此 \( \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \) ，答案为 \( 3 + 2\sqrt{2} \) 。
方法二(官方解法):
\( y/x \) 的最大值即为过原点且与圆 \( {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = 6 \) 相交的直线斜率的最大值。显然，斜率最大的直线 \( \mathrm{m} \) 与圆相切，并且是穿过该圆的两条直线中较陡的一条。简言之，它就是前一幅图中包含 \( {AP} \) 的那条直线。
以下命题等价:
1) \( y = {mx} \) 与圆相切；
2) 方程组
\[ y = {mx}, \]
\[ {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = 6\text{,} \]
仅有唯一解(x, y)
3) 二次方程 \( {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( mx - 3\right) }^{2} = 6 \) 或 \( \left( {{m}^{2} + 1}\right) {x}^{2} - 6\left( {m + 1}\right) x + {12} = \)
0，有重根；
4) 判别式为零，即 \( {36}{\left( m + 1\right) }^{2} - {48}\left( {{m}^{2} + 1}\right) = 0 \) 。
对最后一个方程求其较大根，可得 \( m = 3 + 2\sqrt{2} \) 。
方法三(我们的解法):
\[ \text{Let}\frac{y}{x} = \frac{y - 0}{x - 0} = m\; \Rightarrow \;y = {mx} \Rightarrow \;{mx} - y = 0 \]
\( m \) 是切线 \( {AP} \) 的斜率。
圆心到该切线的距离为 \( \sqrt{6} \) 。
根据点到直线的距离公式，我们得到:
\[ d = \sqrt{6} = \frac{\left| m\left( 3\right) - 3\right| }{\sqrt{{m}^{2} + {\left( -1\right) }^{2}}}\; \Rightarrow \;\sqrt{6} \cdot \sqrt{{m}^{2} + {\left( -1\right) }^{2}} = \left| {m\left( 3\right) - 3}\right| \;\left( 1\right) \tag{1} \]
将(1)式两边平方: \( 6 \cdot \left( {{m}^{2} + 1}\right) = 9{m}^{2} - {18m} + 9\; \Rightarrow \)
\[ 3{m}^{2} - {18m} + 3 = 0 \]
\[ \Rightarrow \;{m}^{2} - {6m} + 1 = 0 \]
\( \frac{y}{x} = m \) 的最大值为 \( 3 + 2\sqrt{2} \) 。( \( \mathrm{m} \) 的最小值为 \( 3 - 2\sqrt{2} \) )。
例22. \( P\left( {x, y}\right) \) 是半径为1的圆上的一点。若圆心为(-2,0)，则 \( \frac{y - 2}{x - 1} \) 的最小值是多少？
(A) \( \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \) (B) \( \frac{3 - \sqrt{3}}{4} \) (C) \( \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \) D. \( \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \) (E) \( \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \)
解答:(B)。
设 \( \frac{y - 2}{x - 1} = k \) 。显然 \( k \) 是连接点 \( P\left( {x, y}\right) \) 与点 \( A\left( {2,1}\right) \) 的直线的斜率。
\( \frac{y - 2}{x - 1} \) 的最小值是圆的两条切线 \( {AP} \) 的斜率中较小的一个。
直线 \( {AP} \) 的方程为 \( {kx} - y + \left( {2 - k}\right) = 0 \) 。
根据点到直线的距离公式，我们有:
\[ \frac{\left| -2k - k + 2\right| }{\sqrt{1 + {k}^{2}}} = 1\; \Rightarrow \;k = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}\text{ ( }k = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}\text{ is ignored). } \]
例23. (AMC) 若 \( {5x} + {12y} = {60} \) ，求 \( \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} \) 的最小值。
(A) \( \frac{60}{13} \) (B) \( \frac{13}{5} \) (C) \( \frac{13}{12} \) (D) 1 (E) 0
解答:(A)。
方法1(官方解答):
\( {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \) 的最小值由 \( O \) 到直线 \( {5x} + {12y} = {60} \) 的垂线 \( {OC} \) 给出。由相似三角形，
\[ \frac{OC}{5} = \frac{12}{13}.\;\therefore {OC} = \frac{60}{13}\text{.} \]
方法2(我们的解答):
\( {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \) 的最小值由 \( O \) 到直线 \( {5x} + {12y} = {60} \) 的垂线 \( {OC} \) 给出。 \( {ABC} \) 是一个 \( 5 - {12} - {13} \) 直角三角形。
\( {S}_{\Delta 4BC} = \frac{{AB} \times {OC}}{2} = \frac{{12} \times 5}{2}.\;\therefore {OC} = \frac{60}{13} \) .
方法3(我们的解答):
\( \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} \) 的最小值是圆心(0,0)到直线 \( {5x} + {12y} = {60}.\frac{\left| -{60}\right| }{\sqrt{{5}^{2} + {12}^{2}}} = \frac{60}{13} \) 的最短距离。例24. 过点 \( P\left( {2,3}\right) \) 且与圆 \( C : {x}^{2} + {y}^{2} - {2x} - {2y} + 1 = 0 \) 相切的直线方程可写为 \( {ax} + {by} + c = 0 \) ，求 \( a \) 所有可能值的和。
(A) 4 (B) 3 (C) 0 (D) -2 (E) -4
解答:(A)。
设直线的斜率为 \( k \) ，则直线方程为 \( y - 3 = k\left( {x - 2}\right) \) 。
圆的方程可写为 \( {\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 1 \) 。
圆心 \( C\left( {1,1}\right) \) 到直线的距离为1，即 \( \frac{\left| 1 - k + 2k - 3\right| }{\sqrt{1 + {k}^{2}}} = 1 \) 。
解得 \( k \) ，我们得到 \( k = \frac{3}{4} \) 。
因此直线方程为 \( y - 3 = \frac{3}{4}\left( {x - 2}\right) \) 或 \( {3x} - {4y} + 6 = 0 \) 。
由于圆的方程可写为 \( {\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 1, x = 2 \) ，它也是切线。
所以 \( a = 3 + 1 = 4 \) 。
问题
问题1. 从圆心为 \( (3 \) , 3)、半径为3的圆内随机取一点(x, y)。求 \( x < y - 3 \) 的概率？你可以用3代替 \( \pi \) 。
(A) \( 1/{12} \) (B) \( 1/8 \) (C) \( 3/{16} \) (D) \( 1/9 \) (E) \( 2/{27} \)
问题2. 一条斜率为3的直线与一条斜率为6的直线在点(3,4)相交。求这两条直线 \( y \) -截距之间的距离？
(A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 12
问题3. 两个半径为2的圆分别以(2,0)和(0,2)为圆心。从这两个圆的并集中随机取一点 \( (x \) , \( y) \) 。求该点落在两圆交集区域内的概率？
(A) \( 1/{12} \) (B) \( 1/8 \) (C) \( 3/{16} \) (D) \( 1/9 \) (E) \( 1/{11} \)
问题4。在矩形 \( {ABCD} \) 中， \( {AB} = 8,{BC} = 9, H \) 位于 \( {BC} \) 上，且 \( {BH} = \) ； \( 6, E \) 位于 \( {AD} \) 上，且 \( {DE} = 4 \) ；直线 \( {EC} \) 与直线 \( {AH} \) 相交于 \( G \) ； \( F \) 位于直线 \( {AD} \) 上，且 \( {GF} \) 。求长度 \( {EF} \) ？
(A) 6 (B) 10 (C) 14 (D) 15 (E) 12
问题5。若直线方程 \( {3x} - {2y} + 4 = 0 \) 与 \( {7x} + {ay} \) \( - 1 = 0 \) 的图像互相垂直，求 \( a \) 。
(A) \( {21}/2 \) (B) \( {17}/2 \) (C) \( 3/2 \) (D) \( {15}/2 \) (E) \( {12}/5 \)
问题6。求圆 \( {x}^{2} + {y}^{2} = 2 \) 在点(1,1)处的切线方程。
(A) \( {3x} - y = 4 \) (B) \( y = {2x} - 1 \) (C) \( y = - {2x} + 3 \)
(D) \( {3x} - {2y} = 1 \) (E) \( x + y = 2 \) 。
问题7。一圆的方程为 \( {\left( x + 2\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = {100} \) 。一直线在该圆于点(6, -5)处相切，求此切线的斜率。
(A) \( 3/4 \) (B) \( 3/8 \) (C) \( 8/3 \) (D) \( 1/3 \) (E) \( 4/3 \)
问题8。点 \( P \) 位于 \( {AB} \) 上。点 \( A \) 的坐标为(4,12)，点 \( B \) 的坐标为(20,6)。已知 \( {AP} : {PB} = 2 : 3 \) 的比值，求点 \( P \) 的坐标之和。
(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28 (E) 30
问题9。 \( A\left( {8,3}\right) , B\left( {8, - 1}\right) , C\left( {5, - 1}\right) \) 与 \( D\left( {5,3}\right) \) 是矩形的四个顶点中的两个。若该矩形绕点(2, -5)在平面内旋转 \( {180}^{ \circ } \) ，求顶点 \( C \) 的新坐标，并以有序对表示。
(A)(-4, -9) (B)(-8,1) (C)(-1,5) (D)(5, -9) (E)(-4,9)。
问题10。如图所示，三角形 \( {ABC} \) 的顶点为 \( A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) , B\left( {x}_{2}\right. \) 、 \( \left. {y}_{2}\right) \) 和 \( C\left( {{x}_{3},{y}_{3}}\right) \) 。求 \( G \) 的坐标，即重心(三条中线的交点)。
问题11。三角形 \( {ABC} \) 的顶点为 \( A\left( {4,1}\right) , B\left( {7,5}\right) \) 和 \( C\left( {-4,7}\right) \) 。包含角 \( \angle A \) 的角平分线的直线方程可表示为 \( {ax} + \) \( {by} + c = 0 \) 。求 \( a + b \) 的最大可能值？
(A) 2 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 7
问题12. 三角形的顶点为直线 \( y \) 、 \( = - x - 1, x = 2 \) 和 \( y = \frac{1}{5}x + \frac{13}{5} \) 的交点。求经过这三个顶点的圆的方程。
(A) \( {x}^{2} + {y}^{2} = {13} \) (B) \( {x}^{2} + {y}^{2} = {169} \) (C) \( {x}^{2} + {y}^{2} = {16} \)
(D) \( {x}^{2} + {y}^{2} = {15} \) (E) \( {x}^{2} + {y}^{2} = 7 \)
问题13. \( {QRST} \) 是一个矩形，其中 \( Q\left( {-3,6}\right) \) 和 \( R\left( {3, - 6}\right) \) 。若对角线 \( {QS} \) 的长度为 \( 9\sqrt{5} \) ，求该矩形的面积。
(A) \( 6\sqrt{5} \) (B) \( {15}\sqrt{5} \) (C) \( {15}\sqrt{5} \) D. \( {90}\sqrt{5} \) (E) \( {90}\sqrt{3} \)
问题14. 对于实数 \( x \) ，若 \( g\left( x\right) = \left| {\sqrt{{x}^{2} - {2x} + 5} - \sqrt{{x}^{2} - {4x} + {13}}}\right| \) ，则 \( g\left( x\right) \) 的最大可能值是多少？
(A) \( \sqrt{2} \) (B) \( \sqrt{5} \) (C) \( \sqrt{3} \) D. \( 2\sqrt{2} \) (E) \( 2\sqrt{3} \)
问题15. (AMC) 设圆 \( {C}_{1} \) 和圆 \( {C}_{2} \) 分别由 \( {\left( x - {10}\right) }^{2} + {y}^{2} = {36} \) 和 \( {\left( x + {15}\right) }^{2} + {y}^{2} = {81} \) 定义。求最短线段 \( {PQ} \) 的长度，该线段在 \( P \) 处与 \( {C}_{1} \) 相切，在 \( Q \) 处与 \( {C}_{2} \) 相切。
(A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 21 (E) 24
问题16. 点(3,2)到直线 \( y = {3x} + 2 \) 的距离是多少？
(A) \( \frac{\sqrt{10}}{10} \) (B) \( \frac{9\sqrt{10}}{10} \) (C) \( \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} \) D. \( \frac{2\sqrt{10}}{5} \) (E) \( \frac{{19}\sqrt{10}}{10} \)
问题17. 已知直线 \( {2x} + {4y} = 3 \) ，求它与原点的大致距离。
(A) \( \frac{3\sqrt{5}}{10} \) (B) \( \frac{{13}\sqrt{5}}{10} \) (C) \( \frac{3\sqrt{3}}{20} \) D. \( \frac{6\sqrt{5}}{10} \) (E) \( \frac{3\sqrt{3}}{10} \)
问题18. 若直线 \( {l}_{1} : {2x} + \) \( {3y} - 6 = 0 \) 与直线 \( {l}_{2} : {4x} + {6y} + a = 0 \) 的距离为 \( \frac{5\sqrt{13}}{26} \) ，求 \( a \) 的最大可能值。
(A) -17 (B) -7 (C) -20 (D) 7 (E) 17
问题19. 直线 \( y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{7} \) 距离最近的格点多近？
(A) \( \frac{3\sqrt{34}}{34} \) (B) \( \frac{3\sqrt{34}}{25} \) (C) \( \frac{3\sqrt{7}}{7} \) D. \( \frac{3\sqrt{34}}{238} \) (E) \( \frac{3\sqrt{34}}{236} \)
问题20. 圆 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {25} \) 与直线 \( {3x} + {4y} = {48} \) 之间的最短距离是多少？
(A) \( {41}/5 \) (B) \( {23}/4 \) (C) \( {23}/2 \) (D) \( {48}/5 \) (E) \( {55}/5 \)
问题21. 一条斜率为1且过点(0, a)的直线与圆 \( {x}^{2} + {y}^{2} = 2 \) 相切，求 \( a \) 的值。
A. \( \pm 4 \) B. \( \pm 2\sqrt{2} \) C. \( \pm 2 \) D. \( \pm \sqrt{2} \) (E) \( \pm \sqrt{5} \)
问题22. 直线 \( {5x} - {12y} + a = 0 \) 与圆 \( {x}^{2} - {2x} + {y}^{2} = 0 \) 相切，求 \( a \) 的值。
(A) 18 (B) -18 (C) 13 (D) 5 (E)-8
问题23. 对于满足 \( {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - \sqrt{3}\right) }^{2} = 6 \) 的实数对(x, y)，求 \( \frac{y}{x} \) 的最大值。
(A) \( 3 + 2\sqrt{2} \) (B) \( 2 + \sqrt{3} \) (C) \( 3\sqrt{3} \) (D)6(E) \( 6 + 2\sqrt{3} \)
问题24. \( x \) 与 \( y \) 满足方程 \( {\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} = 3 \) ，求 \( \frac{y}{x} \) 的最大值。
(A) \( \frac{1}{2} \) (B) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) (C) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) (D) \( \sqrt{3} \) (E) \( 2\sqrt{3} \)
问题25. 过点 \( M\left( {4,4}\right) \) 且与圆 \( {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 4 \) 相切的直线方程可写为 \( {ax} + {by} + c = 0 \) ，求所有可能的 \( a \) 值之和。
(A) 6 (B) 5 (C) 0 (D) -5 (E) -6
问题26. (AMC) 圆心分别为(2,4)和(14,9)的两个圆，半径分别为4和9。它们的一条外公切线方程可写成 \( y = {mx} + b \) ，其中 \( m > 0 \) 。求 \( b \) 。
(A) 908/119 (B) 909/119 (C) 130/17 (D) 911/119 (E) 912/119
解答:
问题1。解答:(A)。
我们画出图形。在阴影区域内选取的任何点都满足条件。
我们采用以下方法计算阴影区域: \( \frac{{Area}\;{of}\;{the}\;{circle} - {Area}\;{of}\;{square}}{4} \) \( = \frac{\pi \times {3}^{2} - \frac{6 \times 6}{2}}{4} = \frac{{27} - {18}}{4} = \frac{9}{4} \) 。概率为 \( \frac{\frac{9}{4}}{27} = \frac{1}{12} \) 。问题2。解答:(D)。对于 \( {l}_{1} \) ，我们有 \( \frac{4 - {y}_{1}}{3 - 0} = 3\; \Rightarrow \;4 - {y}_{1} = 9 \) (1) 对于 \( {l}_{2} \) ，我们有 \( \frac{4 - {y}_{2}}{3 - 0} = 6\; \Rightarrow \;4 - {y}_{2} = {18} \) (2) (2) \( - \left( 1\right) : {y}_{1} - {y}_{2} = 9 \) 。
问题3。解答:(E)。
两圆相交于(0,0)和(2,2)，如图所示。所描述区域的一半，是通过从一个圆的四分之一中移除一个直角边长为2的等腰直角三角形得到的。因为四分之一圆的面积为 \( \left( {1/4}\right) \times \pi \times \) \( {2}^{2} = \pi \) ，而三角形的面积为 \( \left( {1/2}\right) {\left( 2\right) }^{2} = 2 \) ，所以该区域的面积为 \( 2\left( {\pi - 2}\right) \) 。
于是概率为
\[ \frac{2\left( {\pi - 2}\right) }{\pi \times {2}^{2} + \pi \times {2}^{2} - 2\left( {\pi - 2}\right) } = \frac{2}{{24} - 2} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \]
问题4。解答:(B)。
方法1:
将图形置于坐标平面，原点位于正 \( x \) 轴上的 \( D,{DA} \) ，以及正 \( y \) 轴上的 \( {DC} \) 。于是 \( H = \left( {3,8}\right) \) 且 \( A = \left( {9,0}\right) \) ，因此直线 \( {AG} \) 的方程为 \( y = - \frac{4}{3}x + {12} \) 。
同时， \( C = \left( {0,8}\right) \) 且 \( E = \left( {4,0}\right) \) ，因此直线 \( {EG} \) 的方程为 \( y = - {2x} + 8 \) 。
两直线交于(-6,20)，因此 \( {FE} = \left| {-6}\right| + 4 = {10} \) 。方法2(我们的解法):
将图形置于坐标平面，原点位于 \( A \) 。
于是 \( E = \left( {-5,0}\right) \) 且 \( C = \left( {-9,8}\right) \) ，因此直线 \( {CE} \) (或 \( {EG} \) )的方程为
\[ \frac{y - {y}_{1}}{x - {x}_{1}} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}\; \Rightarrow \;\frac{y - 0}{x - \left( {-5}\right) } = \frac{8 - 0}{-9 - \left( {-5}\right) } \Rightarrow y = - {2x} - {10} \tag{1} \]
我们还有 \( A = \left( {0,0}\right) \) 且 \( H = \left( {-6,8}\right) \) ，因此直线 \( {EG} \) 的方程为
\[ \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{8 - 0}{-6 - 0}\; \Rightarrow \;y = - \frac{4}{3}x \tag{2} \]
将(2)代入(1): \( - \frac{4}{3}x = - {2x} - {10} \Rightarrow {2x} - \frac{4}{3}x = - {10} \Rightarrow \frac{2}{3}x = - {10} \)
\[ \Rightarrow x = - {15}\text{.} \]
\[ \text{Then}{FD} = 6\text{and}{FE} = {10}\text{.} \]
问题5。解答:(A)。
\[ {3x} - {2y} + 4 = 0\; \Rightarrow \;y = \left( {3/2}\right) x + 2. \]
\[ {7x} + {ay} - 1 = 0\; \Rightarrow \;y = - \left( {7/a}\right) x + 1/a. \]
\[ \text{Thus}\left( {3/2}\right) \times \left( {-7/a}\right) = - 1\; \Rightarrow \;a = {21}/2\text{.} \]
问题6. 解答:(E)。
圆心位于(0,0)，连接圆心与点(1,1)的直线斜率为1。因此，切线斜率必为-1且经过(1,1)。该切线的点斜式方程为 \( y - 1 = - \left( {x - 1}\right) \) ，可整理为 \( x + y = 2 \) 。
问题7。解答:(E)。
如图所示，包含该直线的斜率为
点(-2,1)和(6,-5)之间的距离是 \( {k}_{1} = \frac{-5 - 1}{6 - \left( {-2}\right) } = \frac{-6}{8} = - \frac{3}{4} \) 。
切线的斜率为 \( {k}_{2} \) ，然后为 \( {k}_{1} \times {k}_{2} = - 1 \) 。因此
\[ {k}_{2} = - \frac{1}{{k}_{1}} = \frac{4}{3}. \]
问题8. 解答:(B)。
设点 \( P \) 为(x, y)。
\[ x = \frac{{x}_{1} + \lambda {x}_{2}}{1 + \lambda } = \frac{4 + \frac{2}{3} \times {20}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{52}{5} \]
\[ \text{and}y = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } = \frac{{12} + \frac{2}{3} \times 6}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{48}{5}. \Rightarrow x + y = \frac{52}{5} + \frac{48}{5} = {20}\text{.} \]
问题9. 解答:(A)。
新坐标 \( {B}^{\prime }\left( {x, y}\right) \) 和 \( B\left( {8, - 1}\right) \) 关于点 \( (2, - \) 5)对称。过(2, -5)且与连接 \( B \) 和 \( {B}^{\prime } \) 的直线垂直的直线是 \( B{B}^{\prime } \) 的垂直平分线，即 \( {BP} = {B}^{\prime }P \) 。
根据中点公式:
\[ {x}_{P} = \frac{{x}_{B} + {x}_{{B}^{\prime }}}{2} \Rightarrow 2 = \frac{8 + {x}_{{B}^{\prime }}}{2} \Rightarrow \]
\[ {x}_{{B}^{\prime }} = - 4\text{.} \]
\[ {y}_{P} = \frac{{y}_{B} + {y}_{{B}^{\prime }}}{2} \Rightarrow - 5 = \frac{-1 + {y}_{{B}^{\prime }}}{2} \Rightarrow {y}_{{B}^{\prime }} = - 9. \]
\[ {B}^{\prime }\left( {x, y}\right) \]
问题10. 解答:
设 \( G \) 的坐标为 \( G\left( {x, y}\right) \) 。
将 \( {BC} \) 的中点称为 \( D \) 。
根据中点公式，我们可以得到 \( D \) 的坐标:
\[ \left( {\frac{{x}_{2} + {x}_{2}}{2},\frac{{y}_{2} + {y}_{2}}{2}}\right) \text{.} \]
由于 \( G \) 是三角形 \( {ABC} \) 的重心，我们知道 \( {AG} : {GD} = 2 : 1 \) 。
换句话说， \( \lambda = \frac{AG}{GD} = 2 \) 。
利用公式 \( x = \frac{{x}_{1} + \lambda {x}_{2}}{1 + \lambda } \) 和 \( y = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } \) ，我们可以求出
\( G : \)
\[ x = \frac{{x}_{1} + 2 \cdot \frac{{x}_{2} + {x}_{3}}{2}}{1 + 2} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}}{3}\text{, and }y = \frac{{y}_{1} + 2 \cdot \frac{{y}_{2} + {y}_{3}}{2}}{1 + 2} = \frac{{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3}}{3}\text{. } \]
问题11。解答:(D)。
设 \( p\left( {x, y}\right) \) 为角平分线 \( {AD} \) 上的一点。方法一:
点 \( p \) 到 \( {AC} \) 的距离与点 \( p \) 到 \( {AB} \) 的距离相等。
直线 \( {AB} \) 的方程为: \( y - 1 = \frac{4}{3}\left( {x - 4}\right) \) 或 \( {4x} - {3y} - {13} = 0 \) 。
\( {AC} \) 的方程为: \( y - 1 = - \frac{4}{3}\left( {x - 4}\right) \) 或 \( {3x} + {4y} - {16} = 0 \) 。
\( \therefore \frac{\left| 4x - 3y - {13}\right| }{\sqrt{{4}^{2} + {\left( -3\right) }^{2}}} = \frac{\left| 3x + 4y - {16}\right| }{\sqrt{{3}^{2} + {4}^{2}}} \)
\( {4x} - {3y} - {13} = \pm \left( {{3x} + {4y} - {16}}\right) \)
\( x - {7y} + 3 = 0 \) 或 \( {7x} + y - {29} = 0 \) 。
我们容易看出 \( x - {7y} + 3 = 0 \) 是 \( \angle A \) 外角角平分线的方程，因此 \( \angle A \) 的角平分线方程为
于是 \( {7x} + y - {29} = 0 \) 。
答案是 \( 7 + 1 = 8 \) 。
方法二:
根据角平分线定理，
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{{\left( 4 - 7\right) }^{2} + {\left( 1 - 5\right) }^{2}}}{\sqrt{{\left( 4 + 4\right) }^{2} + {\left( 1 - 7\right) }^{2}}} = \frac{\sqrt{{3}^{2} + {4}^{2}}}{\sqrt{{8}^{2} + {6}^{2}}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
\[ \text{So}\lambda = \frac{BD}{DC} = \frac{1}{2}\text{.} \]
于是 \( {D}_{x} = \frac{{x}_{1} + \lambda {x}_{2}}{1 + \lambda } = \frac{7 + \frac{1}{2} \cdot \left( {-4}\right) }{1 + \frac{1}{2}} = \frac{10}{3} \) ，且 \( {D}_{y} = \frac{{y}_{1} + \lambda {y}_{2}}{1 + \lambda } = \frac{5 + \frac{1}{2} \cdot 7}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{17}{3} \)
方程为:
\[ \frac{y - {y}_{1}}{x - {x}_{1}} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}\; \Rightarrow \;\frac{y - 1}{x - 4} = \frac{\frac{17}{3} - 1}{\frac{10}{3} - 4} = - 7 \]
\[ \Rightarrow \;y - 1 = - {7x} - {28} \]
\( \Rightarrow \;{7x} + y - {29} = 0 \) .
答案是 \( 7 + 1 = 8 \) 。
问题12. 解答:(A)。
方法1:通过令三条直线两两相等，可求出它们的交点。我们算得交点为 \( A\left( {2,3}\right) \) 、 \( B\left( {2, - 3}\right) \) 和 \( C\left( {-3,2}\right) \) 。
设圆心为 \( O\left( {x, y}\right) \) 。利用距离公式，我们有:
\[ \overline{OA} = \overline{OB} : \sqrt{{\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2}} = \sqrt{{\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y + 3\right) }^{2}} \tag{1} \]
\[ \overline{OA} = \overline{OC} : \sqrt{{\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2}} = \sqrt{{\left( x + 3\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2}} \tag{2} \]
将(1)和(2)两边平方，得到:
\[ {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y + 3\right) }^{2} \tag{3} \]
\[ {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2} = {\left( x + 3\right) }^{2} + {\left( y - 2\right) }^{2} \tag{4} \]
由(3)可得: \( {\left( y - 3\right) }^{2} = {\left( y + 3\right) }^{2} \Rightarrow y = 0 \) 。
将 \( y = 0 \) 代入(4):
\[ {\left( x - 2\right) }^{2} + {3}^{2} = {\left( x + 3\right) }^{2} + {2}^{2} \rightarrow {x}^{2} - {4x} + 4 + 9 = {x}^{2} + {6x} + 9 + 4 \rightarrow {10x} = 0 \rightarrow x = 0. \]
因此，圆心位于原点，圆的半径为
\[ \overline{OA} = \sqrt{{\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 3\right) }^{2}} = \sqrt{{2}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{13} \]
于是圆的方程为 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {13} \) 。
方法2:
圆的一般方程为 \( {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0 \) 。
对于点(2,3)，有
\[ {2}^{2} + {3}^{2} + {2D} + {3E} + F = 0\; \Rightarrow \;{2D} + {3E} + F = - {13}\;\left( 1\right) \tag{1} \]
对于点(2,-3)，有
\[ {2}^{2} + {\left( -3\right) }^{2} + {2D} - {3E} + F = 0\; \Rightarrow \;{2D} - {3E} + F = - {13}\;\left( 2\right) \tag{2} \]
对于点(-3,2)，有
\[ {3}^{2} + {\left( -2\right) }^{2} + {3D} - {2E} + F = 0\; \Rightarrow \;{3D} - {2E} + F = - {13}\;\left( 3\right) \tag{3} \]
(4)
考虑 \( E = 0 \) ，解方程组(1)和(3):
\( D = 0 \) 和 \( F = - {13} \) 。
圆的方程为 \( {x}^{2} + {y}^{2} - {13} = 0 \) 或 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {13} \) 。
问题13。解答:(D)。
利用距离公式，点 \( Q \) 与点 \( R \) 之间的距离为 \( {QR} = \sqrt{{\left( 3 + 3\right) }^{2} + {\left( -6 - 6\right) }^{2}} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}. \)
将勾股定理(Pythagorean Theorem)应用于三角形 \( {QRS} \) :
\[ {RS} = \sqrt{Q{S}^{2} - Q{R}^{2}} = \sqrt{{\left( 9\sqrt{5}\right) }^{2} - {\left( 6\sqrt{5}\right) }^{2}} = \sqrt{225} = {15} \]
矩形的面积 \( = {RS} \times {QR} = {15} \times 6\sqrt{5} = {90}\sqrt{5} \) 。
问题14。解答:(A)。
\( g\left( x\right) \) 可改写为 \( g\left( x\right) = \left| {\sqrt{{\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( 0 - 2\right) }^{2}} - \sqrt{{\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( 0 - 3\right) }^{2}}}\right| \) 。
\( g\left( x\right) \) 的最大可能值等于求 \( P\left( {x,0}\right) \) 到 \( A\left( {1,2}\right) \) 与 \( P \) 到 \( B\left( {2,3}\right) \) 距离差的最大可能值 \( \left| {PA}\right| - \left| {PB}\right| \) ，其中点 \( P \) 为连接 \( A \) 与 \( B \) 的线段与 \( x \) 轴的交点。
\[ \left| {AB}\right| = \sqrt{{\left( 1 - 2\right) }^{2} + {\left( 2 - 3\right) }^{2}} = \sqrt{2}\text{.} \]
问题15。解答:(C)。
方法1(官方解法):圆心分别位于 \( A = \left( {{10},0}\right) \) 和 \( B = \left( {-{15},0}\right) \) ，半径分别为6和9。由于内公切线比外公切线短， \( {PQ} \) 与 \( {AB} \) 相交于点 \( D \) ，该点将 \( {AB} \) 按半径比例分割。直角三角形 \( {APD} \) 与 \( {BQD} \) 相似，相似比为 \( 2 : 3 \) 。因此 \( D = \left( {0,0}\right) ,{PD} = 8 \) ，且 \( {QD} = {12} \) 。于是 \( {PQ} = {20} \) 。
方法2(我们的解决方案):
作 \( {BT}//{QP} \) ，使 \( {BT} \) 与 \( {AP} \) 的延长线交于 \( T.{PQ} = {BT} \) 。
将勾股定理(Pythagorean Theorem)应用于直角三角形 \( {ABT} : B{T}^{2} = A{B}^{2} - A{T}^{2} \Rightarrow \)
\( B{T}^{2} = {\left( {10} + {15}\right) }^{2} - {\left( 6 + 9\right) }^{2} = {625} - {225} = {400} \Rightarrow \)
\[ {BT} = {20}\text{.} \]
因此 \( {PQ} = {BT} = {20} \) 。
问题16。解答:(B)。
直线 \( {Ax} + {By} + C = 0 \) 到点 \( {x}_{0},{y}_{0} \) 的距离由公式 \( d = \left| \frac{A{x}_{0} + B{x}_{0} + C}{\sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}}\right| \) 给出。代入数值后， \( \left| \frac{\left( 3\right) \left( 3\right) + \left( {-1}\right) \left( 2\right) + 2}{\sqrt{{3}^{2} + {\left( -1\right) }^{2}}}\right| = \frac{9}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{10} \) 。
问题17。解答:(A)。
若一条直线被描述为 \( {Ax} + {By} + C = 0 \) ，且有一点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) ，则该点到直线的距离为 \( \left| \frac{A{x}_{0} + B{x}_{0} + C}{\sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}}\right| \) 。
在此，上式简化为 \( \left| \frac{-3}{\sqrt{{2}^{2} + {4}^{2}}}\right| = \frac{3\sqrt{5}}{10} \) 。
问题18。解答:(B)。
我们知道 \( {l}_{1} : {2x} + {3y} - 6 = 0 \) 与 \( {l}_{2} : {2x} + {3y} + \frac{a}{2} = 0 \) 之间的距离
\[ \text{is}\frac{5\sqrt{13}}{26}\text{.} \]
在一条直线上任取一点，并将其代入点到直线的距离公式。因此，我们从第一条直线 \( {2x} + {3y} - 6 = 0 \) 中选取(3,0)。从 \( (3 \) 到该点的距离，
0)到直线 \( {4x} + {6y} + a = 0 \) 的距离为 \( \frac{\left| 4 \times 3 + 6 \times 0 + a\right| }{\sqrt{{4}^{2} + {6}^{2}}} = \frac{5\sqrt{13}}{26} \Rightarrow \)
\[ \left| {{12} + a}\right| = \frac{5\sqrt{13}}{26} \times \sqrt{52} \Rightarrow \;\left| {{12} + a}\right| = \frac{5\sqrt{13}}{26} \times 2\sqrt{13} \Rightarrow \;\left| {{12} + a}\right| = 5. \]
解 \( a \) 得 \( a = - 7 \) 或-17。答案为-7。
问题19。解答:(D)。
设 \( m \) 与 \( n \) 为格点的坐标。该格点(m, n)到给定直线的距离为
\[ d = \frac{\left| \frac{3}{5}m - n + \frac{2}{7}\right| }{\sqrt{\frac{9}{25} + 1}} = \frac{\left| 3m - 5n + \frac{10}{7}\right| }{\sqrt{34}} = \frac{\left| 7\left( 3m - 5n\right) + {10}\right| }{7\sqrt{34}} \]
我们知道 \( 7\left( {{3m} - {5n}}\right) \) 是7的倍数。我们还知道3与5互质。由于我们希望得到 \( d \) 的最小值，即分子的最小值，因此 \( 7\left( {{3m} - {5n}}\right) = - 7 \) 是我们能获得的最佳值 \( (m = - \) 2和 \( n = - 1 \) )。
\[ {d}_{\min } = \frac{3}{7\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{238} \]
问题20。解答:(A)。
首先注意到直线距原点最近为 \( \frac{\left| 3\left( 0\right) + 4\left( 0\right) - {48}\right| }{\sqrt{{3}^{2} + {4}^{2}}} = \frac{48}{5} \) ，因此它离原点超过5个单位。再减去圆的半径，得到最短距离为 \( \frac{48}{5} - 5 = \frac{23}{5} \) 。
问题21。解答:(C)。
直线的方程为 \( y = x + a \) 。圆心到直线的距离为 \( \frac{\left| a\right| }{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow \;a = \pm 2 \) 。
问题22。解答:(B)。
圆的方程可写为 \( {\left( x - 1\right) }^{2} + {y}^{2} = 1 \) 。圆心为(1,0)，半径为1。
到直线中心的距离为 \( \frac{\left| 5 + a\right| }{13} = 1 \Rightarrow \left| {5 + a}\right| = {13} \) 。 \( a \) 为-18或8。
问题23。解答:(B)。
\[ \text{Let}\frac{y}{x} = \frac{y - 0}{x - 0} = m\; \Rightarrow \;y = {mx} \]
\( m \) 是切线 \( {OP} \) 的斜率。
从 \( {O}_{1} \) (圆心)到切线的距离为 \( \sqrt{6} \) 。
根据点到直线的距离公式，我们得到:
\[ d = \sqrt{6} = \frac{\left| m\left( 3\right) - \sqrt{3}\right| }{\sqrt{{m}^{2} + {\left( -1\right) }^{2}}}\; \Rightarrow \;\sqrt{6} \cdot \sqrt{{m}^{2} + {\left( -1\right) }^{2}} = \left| {m\left( 3\right) - \sqrt{3}}\right| \tag{1} \]
将(1)式两边平方: \( 6 \cdot \left( {{m}^{2} + 1}\right) = 9{m}^{2} - 6\sqrt{3}m + 3 \)
\( \Rightarrow \;3{m}^{2} - 6\sqrt{3}m - 3 = 0 \Rightarrow {m}^{2} - 2\sqrt{3}m - 1 = 0 \) .
解得 \( m = \sqrt{3} + 2 \) 或 \( m = \sqrt{3} - 2 \) (舍去)。
\( \frac{y}{x} = m \) 的最大值为 \( \sqrt{3} + 2 \) 。
问题24。解答:(D)。
如图所示，方程 \( {\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} = 3 \) 表示圆心为(2,0)、半径为 \( r = \sqrt{3} \) 的圆。
设 \( \frac{y}{x} = k \) ，其中 \( k \) 为直线 \( y = {mx} \) 的斜率。 \( \frac{y}{x} \) 的最大值
在直线 \( y = {mx} \) 或 \( {mx} - y = 0 \) 与圆相切且切点位于 \( x \) 轴上方时取得。
根据点到直线的距离公式，我们得到:
\[ d = \sqrt{3} = \frac{\left| m\left( 2\right) - 0\right| }{\sqrt{{m}^{2} + {\left( 1\right) }^{2}}} \Rightarrow \;\sqrt{3} \cdot \sqrt{{m}^{2} + 1} = \left| {2m}\right| \tag{1} \]
将(1)式两边平方: \( 3 \cdot \left( {{m}^{2} + 1}\right) = 4{m}^{2} \Rightarrow \;{m}^{2} = \sqrt{3} \) 。
解得 \( m = \sqrt{3} \) 或 \( m = - \sqrt{3} \) (舍去)。
\( \frac{y}{x} = m \) 的最大值为 \( \sqrt{3} \) 。
问题25。解答:(A)。
将 \( M \) 的值代入圆的方程:
\( {\left( 4 - 2\right) }^{2}2{\left( 4 - 1\right) }^{2} > 4 \) .
于是我们知道 \( M \) 在圆外。
设切线方程为 \( y - 4 = k\left( {x - 4}\right) \) ，或 \( {kx} - y + 4 - {4k} = 0 \) 。
已知圆心为(2,1)，半径为2。于是我们有
\[ \frac{\left| 2k - 1 + 4 - 4k\right| }{\sqrt{{k}^{2} + {\left( -1\right) }^{2}}} = 2. \]
解得 \( k = \frac{5}{12} \) 。
切线方程为 \( {5x} - {12y} + {28} = 0 \) 。
注意 \( x = 4 \) 是另一条切线的方程。
于是 \( a = 5 + 1 = 6 \) 。
问题26。解答:(E)。
方法1(官方解答):
包含两圆心的直线 \( l \) 的斜率为 \( 5/{12} = \tan \theta \) ，其中 \( \theta \) 为 \( x \) -轴与直线 \( l \) 之间的锐角。直线 \( l \) 的方程为 \( y - 4 = \)
\( \left( {5/{12}}\right) \left( {x - 2}\right) \) 。该直线与两条外公切线共点。由于其中一条切线为 \( x \) -轴，交点即为直线 \( l \) 的 \( x \) -截距，其值为 \( \left( {-{38}/5,0}\right) \) 。 \( x \) -轴与另一条切线之间的锐角为 \( {2\theta } \) ，故该切线的斜率为 \( \tan {2\theta } = 2 \cdot \frac{5/{12}}{1 - {\left( 5/{12}\right) }^{2}} = \frac{120}{119} \) 。于是该切线方程为 \( y = \left( {{120}/{119}}\right) \left( {x + \left( {{38}/5}\right) }\right) \) ，且 \( b = \frac{120}{119} \cdot \frac{38}{5} = \frac{912}{119} \) 。
方法2(我们的解答):
设 \( M\left( {x, y}\right) \) 为两条外公切线的交点。三角形 \( {MBD} \) 与三角形 \( {MAC} \) 相似。
于是 \( \frac{DB}{CA} = \frac{MB}{MA} \Rightarrow \;\frac{9}{{14} + {MO}} = \frac{4}{2 + {MO}} \) 于是 \( \frac{9}{{14} + {MO}} = \frac{4}{2 + {MO}} = \frac{5}{12} \) 且 \( {MO} = \frac{38}{5} \) 。于是我们有 \( M\left( {-\frac{38}{5},0}\right) \) 。设切线方程为 \( y = m\left\lbrack {x - \left( {-\frac{38}{5}}\right) }\right\rbrack \) 或 \( {mx} - y + \frac{38}{5}m = 0 \) 。圆 \( C \) 到该直线的距离为4。于是 \( 4 = \frac{\left| {m}^{2} - 4 + \frac{38}{5}m\right| }{\sqrt{1 + {m}^{2}}} \Rightarrow \)
\[ 4\sqrt{1 + {m}^{2}} = \left| {\frac{48}{5}m - 4}\right| \]
两边平方: \( {16}\left( {1 + {m}^{2}}\right) = {\left( \frac{48}{5}m - 4\right) }^{2} \) 。解得: \( {m}_{1} = 0 \) (因已知 \( m > 0 \) 而舍去)及 \( {m}_{2} = \frac{120}{119} \cdot b = \frac{38}{5}m = \frac{38}{5} \cdot \frac{120}{119} = \frac{912}{119} \) 。